四分位数と四分位範囲
IQR 四分位数プログラム
度数分布表（または棒グラフ）の各値と度数を入力すると、DSE の方法に従って Q₁、Q₂、Q₃ の位置と値を順に表示し、最後に四分位範囲を表示します。
- 228 バイト
- COMP モード
- 最大 6 組
例題と解説
例題 1
下の表は、あるクラスの生徒が持っているペンの本数の分布を示しています。この分布の四分位範囲を求めなさい。
| ペンの本数 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 生徒の人数 | 6 | 8 | 8 | 4 | 2 |
答え
標準的な解き方（電卓なし）
- 総数： N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
- 累積度数：
例題 1 の累積度数 ペンの本数 4 5 6 7 8 累積度数 6 14 22 26 28 - 中央値： 位置 = = 14.5 なので、14 番目と 15 番目のデータの平均です。累積度数より、14 番目のデータは 5、15 番目のデータは 6 です。
∴ Q₂ = = 5.5 - 第1四分位数： N は偶数なので、下半分は 1 番目から 14 番目までのデータです。
Q₁ = = = 5 - 第3四分位数： 上半分は 15 番目から 28 番目までのデータです。
Q₃ = = = 6 - 四分位範囲 = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
∴ 答えは A です。
例題 2
下の棒グラフは、あるクラスの生徒 25 人が先週運動した日数の分布を示しています。この分布の四分位範囲を求めなさい。
答え
標準的な解き方（電卓なし）
- 総数： N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
- 累積度数：
例題 2 の累積度数 日数 1 2 3 4 5 累積度数 3 6 13 21 25 - 中央値： 位置 = = 13、∴ Q₂ = 13 番目のデータ = 3
- 下半分と上半分： N は奇数なので、中央値（13 番目のデータ）はどちらの半分にも含めません。下半分は 1 番目から 12 番目、上半分は 14 番目から 25 番目までのデータです。
- 第1四分位数： Q₁ = 下半分の中央値 = = = 2.5
- 第3四分位数： Q₃ = 上半分の中央値 = = = 4
- 四分位範囲 = 4 − 2.5 = 1.5
∴ 答えは B です。
よくある間違い：中央値を両方の半分に含めてしまう（下半分を 1 番目から 13 番目とする）と、Q₁ = 3、Q₃ = 4、IQR = 1 となり、誤った選択肢 A を選んでしまいます。
例題 3
下の表は、生徒 40 人のきょうだいの人数の分布を示しています。
| きょうだいの人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 生徒の人数 | 10 | 12 | 8 | 6 | 3 | 1 |
- (a)この分布の中央値を求めなさい。
- (b)この分布の四分位範囲を求めなさい。
答え
標準的な解き方（電卓なし）
- 総数： N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
- 累積度数：
例題 3 の累積度数 きょうだいの人数 0 1 2 3 4 5 累積度数 10 22 30 36 39 40 - (a) 中央値： 位置 = = 20.5
中央値 = = = 1 - (b) 第1四分位数： 下半分は 1 番目から 20 番目までのデータです。
Q₁ = = = 0.5 - 第3四分位数： 上半分は 21 番目から 40 番目までのデータです。
Q₃ = = = 2.5 - 四分位範囲 = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
使いどころ
HKDSE 数学（必修部分）の統計分野では、度数分布表や棒グラフから第1四分位数 Q₁、中央値 Q₂、第3四分位数 Q₃、四分位範囲（IQR）を求める問題がよく出ます。手計算では、総数を数え、累積度数を作り、それぞれの位置を探さなければなりません。さらに N が奇数のときは、中央値を上下どちらの半分にも含めないことを忘れてはいけません。手順が多く、数え間違いも起こりやすい作業です。
プログラム 001 は、この数える作業を代わりに行います。各値とその度数を入力すると、Q₁、Q₂、Q₃ の位置と値を順に表示し、最後に IQR を表示します。位置が表示されるので、いまどの四分位数が表示されているかがわかり、自分の計算とも比べやすくなります。
使える場面
- 離散データの度数分布表や棒グラフ
- 第1四分位数、中央値、第3四分位数、四分位範囲を求めるとき
- Paper 1（記述式）の答えの検算や、Paper 2 の多肢選択問題（MC）をすばやく解くとき
入力するもの
- 各値 x とその度数 f（x が先）を、小さい値から順に入力します
- 最大 6 組。入力後、X? と Y? でそれぞれ一度ずつ EXE を押します
- ちょうど 6 組のときは自動的に計算が始まります
表示される内容
- Q₁ の位置 → Q₁
- Q₂ の位置 → Q₂（中央値）
- Q₃ の位置 → Q₃
- 最後に：IQR = Q₃ − Q₁
プログラムが従う DSE の方法
- N 個のデータを小さい順に並べます。
- 中央値 Q₂ は 番目の位置にあります。
- データを下半分と上半分に分けます。N が奇数のとき、中央値はどちらの半分にも含めません。
- Q₁ = 下半分の中央値、Q₃ = 上半分の中央値、IQR = Q₃ − Q₁ です。
- 位置が .5 で終わる場合（例：7.5）は、7 番目と 8 番目のデータの平均を表します。
制限と注意点
- 最大 6 組まで。データの総数は 2 個以上必要です。
- 各 x は整数とし、小さい順に入力します。最初の x は 99 以下、隣り合う値の差は 99 以下でなければなりません。
- 最後の組より前の累積度数は 99 以下でなければなりません（最後の組の度数はそれより大きくてもかまいません）。
- 値が大きい場合（例：150）：すべての x から同じ数を引いてから入力し、Q₁、Q₂、Q₃ にその数を足して戻します。IQR は変わりません。
- 小数や負の値の場合：10 倍したり定数を足したりして 0 以上の整数にしてから計算し、最後に元に戻します。
- プログラムは計算中に Fix 0 に切り替え、最後に Norm 1 に戻します。AC で途中停止した場合は、SHIFTMODE右キー31 を押して Norm 1 に戻してください。
プログラムとキー操作
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M:は編集中に EXE で入力し、◢は SHIFT34 で入力します。◢の後に EXE を押さないでください。−1→Yと(−1)^(の−は負の符号 (−) です。それ以外の−はすべて引き算キー − です。- 改行は読みやすくするためだけのものです。各行の末尾の
:は必ず入力してください。
プログラムのしくみ
| 命令文 | はたらき |
|---|---|
ClrMemory:1→B | メモリをクリアし、目印として B の先頭に 1 を置きます |
For 1→C To 6 … Next | 最大 6 組を読み込みます（For の中にループはありません） |
X→D:?→X | D = 直前の x。新しい x の入力を求めます（プロンプトには直前の x が表示されます） |
−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break | 度数の入力を求めます。プロンプトには −1 が表示され、何も入力せずに EXE を押すと入力終了です |
100A+X−D→A | 直前の x との差を、1 組につき 2 桁ずつ A に詰めて格納します |
100B+M→B | 各組より前の累積度数を、1 組につき 2 桁ずつ B に詰めて格納します |
YM+ | M = 総数 N |
(2M+1−(−1)^(M))÷8→D | D = 隣り合う四分位数の位置の間隔 |
(M+1)÷2−D→C | C = Q₁ の位置 |
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1 | 3 回（Q₁、Q₂、Q₃）繰り返し、そのたびに C に D を足します |
Fix 0 … WhileEnd | 最後の組から順に取り出し、位置 C の値を求めます（C が .5 で終わるときは 2 つのデータの平均） |
Norm 1:C◢Y◢ | 通常表示に戻し、位置 C と値 Y を表示します |
M>0⇒−Y→M | 初回（Q₁）のみ、−Q₁ を M に格納します |
Y+M | 最後に Q₃ − Q₁ = IQR を表示します |
プログラムの入力
- MODE 6（PRGM）→ 1（EDIT）→ 空いているプログラムエリアを選びます。たとえば 1（P1）→ 1（COMP）。
- 下の表を、ステップ 1 から最後のステップまで入力します。
- AC を押してエディターを終了します。
- 確認：もう一度 MODE 6 1 を押します。下段に
P-1234 452と表示されるはずです（680 − 228 = 452 バイトが空き。ほかのエリアにプログラムがある場合はこれより少なくなります）。確認したら AC を押します。
最も抜けやすいのはステップ 67、(−1 の後の ) です。これが抜けるとプログラムは 227 バイトになり（確認画面では 453 と表示）、結果がすべて誤りになります。たとえば最初の位置が −42.625 になります。位置が負の値になったら、まずこのステップを確認してください。
キー早見表
プログラムで使うすべての種類の記号と、そのキー操作です。
| 記号 | キー | 意味 |
|---|---|---|
| 表を読み込み中…（この表の表示には JavaScript が必要です） | ||
すべてのキー操作（全 209 ステップ）
ステップ 1 から最後のステップまで順に押せば入力完了です。表はスクロールでき、見出しは常に表示されたままです。
| ステップ | 記号 | キー |
|---|---|---|
| 表を読み込み中…（この表の表示には JavaScript が必要です） | ||
関数電卓での操作
各例題を電卓で解きます。まず問題とデータを確認し、プログラムの実行開始から入力するキーと、押した後の画面表示を順に示します。
例題 1
問題
下の表は、あるクラスの生徒が持っているペンの本数の分布を示しています。この分布の四分位範囲を求めなさい。
| ペンの本数 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 生徒の人数 | 6 | 8 | 8 | 4 | 2 |
- 入力
- 4,65,86,87,48,2EXE のみ:EXEEXE
- 表示
- 7.5514.55.521.561
| # | 入力するキー | 押した後の画面 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 表を読み込み中…（この表の表示には JavaScript が必要です） | |||
例題 2
問題
下の棒グラフは、あるクラスの生徒 25 人が先週運動した日数の分布を示しています。この分布の四分位範囲を求めなさい。
- 入力
- 1,32,33,74,85,4EXE のみ:EXEEXE
- 表示
- 6.52.513319.541.5
| # | 入力するキー | 押した後の画面 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 表を読み込み中…（この表の表示には JavaScript が必要です） | |||
例題 3
問題
下の表は、生徒 40 人のきょうだいの人数の分布を示しています。
| きょうだいの人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 生徒の人数 | 10 | 12 | 8 | 6 | 3 | 1 |
- (a)この分布の中央値を求めなさい。
- (b)この分布の四分位範囲を求めなさい。
- 入力
- 0,101,122,83,64,35,1
- 表示
- 10.50.520.5130.52.52
この表はちょうど 6 組なので、6 番目の度数を入力するとすぐにプログラムが計算を始めます。何も入力せずに EXE を押す必要はありません。
| # | 入力するキー | 押した後の画面 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 表を読み込み中…（この表の表示には JavaScript が必要です） | |||
補足
- 入力プロンプト（X?、Y?）は下段の左側に表示され、右側にはその変数の現在の値が表示されます。上段は入力するまで空白のままで、EXE で確定します。
- 下段の整数は小数点付きで表示されます。たとえば 5 は「5.」、−1 は「-1.」と表示されます。
- プログラムが結果を表示して一時停止すると、下段の右下に Disp が点灯します。EXE を押すと次の結果に進みます。プログラムが終了すると Disp は消えます。実行中は、画面上部に PRGM と枠付きのプログラムエリア（例：P1）が点灯します。
- ステップ 1 では Prog キーで P1–P4 の一覧を開き、1 を押して P1 を実行します。MODE 6 → 2（RUN）→ 1 でも実行できます。