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001Matemáticas · Estadística

Cuartiles y rango intercuartílico

Programa IQR de cuartiles

Introduce cada valor y su frecuencia a partir de una tabla de frecuencias (o un gráfico de barras); el programa sigue el método del DSE para mostrar la posición y el valor de Q₁, Q₂ y Q₃ y, por último, el rango intercuartílico.

Ejemplos resueltosPrograma y teclas
  • 228 bytes
  • Modo COMP
  • Hasta 6 grupos
01

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

La tabla muestra la distribución del número de bolígrafos que tienen los alumnos de una clase. Halla el rango intercuartílico de la distribución.

Datos del Ejemplo 1
Número de bolígrafos45678
Número de alumnos68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Respuesta
A — el rango intercuartílico es 1
Solución estándar (sin calculadora)
  1. Total: N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
  2. Frecuencias acumuladas:
    Frecuencias acumuladas del Ejemplo 1
    Número de bolígrafos45678
    Frecuencia acumulada614222628
  3. Mediana: posición = = 14.5, la media de los datos 14.º y 15.º. Según las frecuencias acumuladas, el 14.º dato es 5 y el 15.º es 6.
    ∴ Q₂ = = 5.5
  4. Cuartil inferior: N es par, así que la mitad inferior va del 1.er al 14.º dato.
    Q₁ = = = 5
  5. Cuartil superior: la mitad superior va del 15.º al 28.º dato.
    Q₃ = = = 6
  6. Rango intercuartílico = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
    ∴ La respuesta es A.
Hazlo con la calculadora

Ejemplo 2

El gráfico de barras muestra la distribución del número de días en que 25 alumnos de una clase hicieron ejercicio la semana pasada. Halla el rango intercuartílico de la distribución.

Días de ejercicio la semana pasadaNúmero de días → Número de alumnos: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789Número de díasNúmero de alumnos
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Respuesta
B — el rango intercuartílico es 1.5
Solución estándar (sin calculadora)
  1. Total: N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
  2. Frecuencias acumuladas:
    Frecuencias acumuladas del Ejemplo 2
    Número de días12345
    Frecuencia acumulada36132125
  3. Mediana: posición = = 13, ∴ Q₂ = el 13.er dato = 3
  4. Las dos mitades: N es impar, así que la mediana (el 13.er dato) no pertenece a ninguna de las dos mitades. La mitad inferior va del 1.er al 12.º dato; la mitad superior, del 14.º al 25.º dato.
  5. Cuartil inferior: Q₁ = mediana de la mitad inferior = = = 2.5
  6. Cuartil superior: Q₃ = mediana de la mitad superior = = = 4
  7. Rango intercuartílico = 4 − 2.5 = 1.5
    ∴ La respuesta es B.

Error frecuente: contar la mediana en las dos mitades (del 1.er al 13.er dato para la mitad inferior) da Q₁ = 3, Q₃ = 4 e IQR = 1, es decir, la opción A, que es incorrecta.

Hazlo con la calculadora

Ejemplo 3

La tabla muestra la distribución del número de hermanos de 40 alumnos.

Datos del Ejemplo 3
Número de hermanos012345
Número de alumnos10128631
  1. (a)Halla la mediana de la distribución.
  2. (b)Halla el rango intercuartílico de la distribución.
Respuesta
(a) Mediana = 1　(b) Rango intercuartílico = 2
Solución estándar (sin calculadora)
  1. Total: N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
  2. Frecuencias acumuladas:
    Frecuencias acumuladas del Ejemplo 3
    Número de hermanos012345
    Frecuencia acumulada102230363940
  3. (a) Mediana: posición = = 20.5
    Mediana = = = 1
  4. (b) Cuartil inferior: la mitad inferior va del 1.er al 20.º dato.
    Q₁ = = = 0.5
  5. Cuartil superior: la mitad superior va del 21.er al 40.º dato.
    Q₃ = = = 2.5
  6. Rango intercuartílico = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
Hazlo con la calculadora
02

Cuándo usarlo

En el bloque de Estadística de Matemáticas del HKDSE (Parte obligatoria) a menudo hay que hallar el cuartil inferior Q₁, la mediana Q₂, el cuartil superior Q₃ y el rango intercuartílico (IQR) a partir de una tabla de frecuencias o un gráfico de barras. A mano hay que contar el total, calcular las frecuencias acumuladas y localizar cada posición; y cuando N es impar hay que acordarse de dejar la mediana fuera de las dos mitades. Son muchos pasos y es fácil contar mal.

El programa 001 hace el recuento por ti. Introduce cada valor y su frecuencia, y mostrará sucesivamente la posición y el valor de Q₁, Q₂ y Q₃, y después el IQR. Las posiciones indican qué cuartil aparece en pantalla y facilitan la comparación con tu propio desarrollo.

  • Úsalo para

    • Tablas de frecuencias o gráficos de barras de datos discretos
    • El cuartil inferior, la mediana, el cuartil superior o el IQR
    • Comprobar respuestas de la Prueba 1 (preguntas de desarrollo); responder con rapidez a las preguntas de opción múltiple de la Prueba 2

  • Qué introduces

    • Cada valor x y su frecuencia f (primero x), empezando por el valor más pequeño
    • Hasta 6 grupos; después pulsa EXE una vez en X? y otra en Y?
    • Con exactamente 6 grupos se inicia solo

  • Qué muestra

    • Posición de Q₁ → Q₁
    • Posición de Q₂ → Q₂ (la mediana)
    • Posición de Q₃ → Q₃
    • Por último: IQR = Q₃ − Q₁

El método del DSE que sigue

  1. Ordena los N datos de menor a mayor.
  2. La mediana Q₂ está en la posición .
  3. Divide los datos en una mitad inferior y una mitad superior; cuando N es impar, la mediana no pertenece a ninguna de las dos mitades.
  4. Q₁ = mediana de la mitad inferior, Q₃ = mediana de la mitad superior, IQR = Q₃ − Q₁.
  5. Una posición que termina en .5 (p. ej., 7.5) indica la media de los datos 7.º y 8.º.

Límites y consejos

  • Hasta 6 grupos; al menos 2 datos en total.
  • Cada valor de x debe ser un número entero y debe introducirse en orden ascendente; el primer valor de x puede ser como máximo 99, y dos valores consecutivos pueden diferir como máximo en 99.
  • La frecuencia acumulada antes del último grupo puede ser como máximo 99 (la última frecuencia puede ser mayor).
  • Valores grandes (p. ej., 150): resta primero el mismo número a cada valor de x y después súmalo de nuevo a Q₁, Q₂ y Q₃; el IQR no cambia.
  • Valores decimales o negativos: multiplica por 10 o suma una constante para obtener enteros no negativos y después deshaz la conversión.
  • El programa cambia a Fix 0 mientras calcula y vuelve a Norm 1 al final. Si lo detienes con AC, pulsa SHIFTMODEDerecha31 para volver a Norm 1.
03

Programa y teclas

001_IQR_quartiles.fx50COMP · 228 bytes
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M
  • : es EXE durante la edición; ◢ es SHIFT34: no pulses EXE después de ◢.
  • El − de −1→Y y de (−1)^( es el signo negativo (−); todos los demás − son la tecla de resta −.
  • Los saltos de línea son solo para facilitar la lectura; los : al final de cada línea sí hay que teclearlos.

Cómo funciona

InstrucciónQué hace
ClrMemory:1→BBorra la memoria y pone un 1 inicial en B como marcador
For 1→C To 6 … NextLee hasta 6 grupos (sin bucle dentro del For)
X→D:?→XD = el valor anterior de x; pide el nuevo valor de x (el indicador muestra el valor anterior de x)
−1→Y:?→Y:Y<0⇒BreakPide la frecuencia; el indicador muestra −1, y pulsar EXE sin escribir nada termina la entrada
100A+X−D→AEmpaqueta en A la diferencia con el valor anterior de x, dos dígitos por grupo
100B+M→BEmpaqueta en B la frecuencia acumulada antes de cada grupo, dos dígitos por grupo
YM+M = el total N
(2M+1−(−1)^(M))÷8→DD = la distancia entre dos posiciones de cuartil consecutivas
(M+1)÷2−D→CC = la posición de Q₁
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1Se repite tres veces (Q₁, Q₂, Q₃) y suma D a C cada vez
Fix 0 … WhileEndDesempaqueta los grupos desde el último hacia atrás y halla el valor en la posición C (la media de dos datos cuando C termina en .5)
Norm 1:C◢Y◢Vuelve a la visualización normal; muestra la posición C y el valor Y
M>0⇒−Y→MSolo la primera vez (Q₁): guarda −Q₁ en M
Y+MPor último muestra Q₃ − Q₁ = IQR

Cómo introducir el programa

  1. MODE 6 (PRGM) → 1 (EDIT) → un área de programa vacía, p. ej., 1 (P1) → 1 (COMP).
  2. Pulsa las teclas de la tabla de abajo, del paso 1 al último.
  3. Pulsa AC para salir del editor.
  4. Comprobación: pulsa de nuevo MODE 6 1. La línea inferior debería mostrar P-1234 452 (680 − 228 = 452 bytes libres; menos si otras áreas contienen programas). Después pulsa AC.

El paso que más se olvida es el 67: el ) después de (−1. Sin él, el programa ocupa 227 bytes (la comprobación muestra 453) y todos los resultados son incorrectos; por ejemplo, la primera posición pasa a ser −42.625. Si una posición sale negativa, revisa primero este paso.

Referencia de teclas

Cada tipo de símbolo que usa el programa, con sus teclas.

SímboloTeclasSignificado
Cargando la tabla… (esta tabla necesita JavaScript)

Todas las teclas, en orden (209 pasos)

Avanza del paso 1 al último para terminar. La tabla se desplaza y su encabezado permanece visible.

Todas las teclas, en orden (209 pasos)
PasoSímboloTeclas
Cargando la tabla… (esta tabla necesita JavaScript)
04

En la calculadora

Cada ejemplo resuelto con la calculadora: primero el enunciado y sus datos; después, cada tecla que hay que introducir desde que se inicia el programa y lo que muestra la pantalla a continuación.

Ejemplo 1

Enunciado

La tabla muestra la distribución del número de bolígrafos que tienen los alumnos de una clase. Halla el rango intercuartílico de la distribución.

Datos del Ejemplo 1
Número de bolígrafos45678
Número de alumnos68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Introduce
4,65,86,87,48,2Solo EXE:EXEEXE
Muestra
7.5514.55.521.561
Teclas y pantalla del Ejemplo 1
#IntroducePantalla despuésNotas
Cargando la tabla… (esta tabla necesita JavaScript)

Ejemplo 2

Enunciado

El gráfico de barras muestra la distribución del número de días en que 25 alumnos de una clase hicieron ejercicio la semana pasada. Halla el rango intercuartílico de la distribución.

Días de ejercicio la semana pasadaNúmero de días → Número de alumnos: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789Número de díasNúmero de alumnos
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Introduce
1,32,33,74,85,4Solo EXE:EXEEXE
Muestra
6.52.513319.541.5
Teclas y pantalla del Ejemplo 2
#IntroducePantalla despuésNotas
Cargando la tabla… (esta tabla necesita JavaScript)

Ejemplo 3

Enunciado

La tabla muestra la distribución del número de hermanos de 40 alumnos.

Datos del Ejemplo 3
Número de hermanos012345
Número de alumnos10128631
  1. (a)Halla la mediana de la distribución.
  2. (b)Halla el rango intercuartílico de la distribución.
Introduce
0,101,122,83,64,35,1
Muestra
10.50.520.5130.52.52

Esta tabla tiene exactamente 6 grupos: el programa se inicia en cuanto se introduce la 6.ª frecuencia, sin necesidad de pulsar EXE en vacío.

Teclas y pantalla del Ejemplo 3
#IntroducePantalla despuésNotas
Cargando la tabla… (esta tabla necesita JavaScript)

Notas

  • Los indicadores de entrada (X?, Y?) aparecen a la izquierda de la línea inferior, con el valor actual de la variable a la derecha; la línea superior queda en blanco hasta que escribes, y EXE confirma.
  • Los números enteros de la línea inferior conservan el punto decimal: 5 se muestra como «5.» y −1 como «-1.».
  • Cuando el programa se detiene para mostrar un resultado, Disp se enciende en la esquina inferior derecha de la línea inferior; pulsa EXE para ver el siguiente. Disp se apaga al terminar el programa. Mientras se ejecuta, PRGM y el área de programa enmarcada (p. ej., P1) se encienden en la parte superior.
  • El paso 1 abre la lista P1–P4 con la tecla Prog; pulsa 1 para ejecutar P1. MODE 6 → 2 (RUN) → 1 también funciona.