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001數學 · 統計

四分位數及四分位數間距

IQR 四分位數程式

輸入頻數分佈表（或棒形圖）每一組的數值及頻數，程式按 DSE 算法顯示 Q₁、Q₂、Q₃ 的位置及數值，最後顯示四分位數間距。

例題程式碼及按鍵
  • 228 bytes
  • COMP 模式
  • 最多 6 組數據
01

例題

例題一

下表顯示某班學生擁有的筆的數目的分佈。求該分佈的四分位數間距。

例題一的數據
筆的數目45678
學生人數68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
答案
A　四分位數間距 = 1
標準解法（不用計算機）
  1. 總人數：N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
  2. 累積頻數：
    例題一的累積頻數
    筆的數目45678
    累積頻數614222628
  3. 中位數：位置 = = 14.5，即第 14 及第 15 個數據的平均。由累積頻數，第 14 個數據是 5，第 15 個數據是 6。
    ∴ Q₂ = = 5.5
  4. 下四分位數：N 是雙數，下半部是第 1 至第 14 個數據。
    Q₁ = = = 5
  5. 上四分位數：上半部是第 15 至第 28 個數據。
    Q₃ = = = 6
  6. 四分位數間距 = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
    ∴ 答案是 A。
用計算機做這題

例題二

下面的棒形圖顯示某班 25 名學生上星期做運動的日數的分佈。求該分佈的四分位數間距。

上星期做運動的日數做運動的日數 → 學生人數: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789做運動的日數學生人數
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
答案
B　四分位數間距 = 1.5
標準解法（不用計算機）
  1. 總人數：N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
  2. 累積頻數：
    例題二的累積頻數
    日數12345
    累積頻數36132125
  3. 中位數：位置 = = 13，∴ Q₂ = 第 13 個數據 = 3
  4. 分成兩半：N 是單數，中位數（第 13 個數據）不計入任何一半：下半部是第 1 至第 12 個數據，上半部是第 14 至第 25 個數據。
  5. 下四分位數：Q₁ = 下半部的中位數 = = = 2.5
  6. 上四分位數：Q₃ = 上半部的中位數 = = = 4
  7. 四分位數間距 = 4 − 2.5 = 1.5
    ∴ 答案是 B。

常見錯誤：把中位數同時計入兩半（下半部取第 1 至第 13 個），會得 Q₁ = 3、Q₃ = 4、IQR = 1，誤選 A。

用計算機做這題

例題三

下表顯示 40 名學生的兄弟姊妹數目的分佈。

例題三的數據
兄弟姊妹數目012345
學生人數10128631
  1. (a)求該分佈的中位數。
  2. (b)求該分佈的四分位數間距。
答案
(a) 中位數 = 1　(b) 四分位數間距 = 2
標準解法（不用計算機）
  1. 總人數：N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
  2. 累積頻數：
    例題三的累積頻數
    兄弟姊妹數目012345
    累積頻數102230363940
  3. (a) 中位數：位置 = = 20.5
    中位數 = = = 1
  4. (b) 下四分位數：下半部是第 1 至第 20 個數據。
    Q₁ = = = 0.5
  5. 上四分位數：上半部是第 21 至第 40 個數據。
    Q₃ = = = 2.5
  6. 四分位數間距 = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
用計算機做這題
02

應用場景

在 DSE 數學必修部分的統計課題，經常要由頻數分佈表或棒形圖，找出下四分位數 Q₁、中位數 Q₂、上四分位數 Q₃ 及四分位數間距（IQR）。人手計算要先數總數、列出累積頻數，再找出第幾個數據；N 是單數時，還要記得把中位數剔出兩半——步驟多，也容易數錯。

001 把這些步驟交給計算機：依次輸入每一組的數值及頻數，程式就會逐一顯示 Q₁、Q₂、Q₃ 的位置及數值，最後顯示 IQR。見到位置，就知道正在顯示哪一個四分位數，亦方便與人手計算對照。

  • 適用題型

    • 頻數分佈表或棒形圖（離散數據）
    • 求下四分位數、中位數、上四分位數或四分位數間距
    • 卷一長題核對答案；卷二多項選擇題快速作答

  • 你要輸入

    • 每組的數值 x 及頻數 f（先 x 後 f），由最小的數值開始
    • 最多 6 組；輸入完後在 X?、Y? 各直接按一次 EXE
    • 剛好 6 組時，第 6 組輸入完就自動開始

  • 程式會顯示

    • Q₁ 的位置 → Q₁
    • Q₂ 的位置 → Q₂（中位數）
    • Q₃ 的位置 → Q₃
    • 最後：IQR = Q₃ − Q₁

程式跟從的 DSE 算法

  1. 把數據由小至大排列，共 N 個。
  2. 中位數 Q₂ 在第 個位置。
  3. 把數據分成下半部及上半部；N 是單數時，中位數不計入任何一半。
  4. Q₁ ＝ 下半部的中位數，Q₃ ＝ 上半部的中位數，IQR ＝ Q₃ − Q₁。
  5. 位置是 .5（例如第 7.5 個）＝ 第 7 及第 8 個數據的平均。

限制及注意事項

  • 最多 6 組數據；數據總數 N 至少 2。
  • 數值 x 必須是整數，並由細到大輸入；第一個 x 不可大過 99，相鄰兩個 x 相差不可大過 99。
  • 最後一組之前的累積頻數不可大過 99（最後一組的頻數可以更大）。
  • x 較大（例如 150）時：先把全部 x 減去同一個數再輸入，計完把 Q₁、Q₂、Q₃ 加回去；IQR 不變。
  • x 是小數或負數時：先乘以 10 或加上一個數，變成非負整數再計，計完再變回去。
  • 程式計算時會轉用 Fix 0，完結前轉回 Norm 1；如中途按 AC 停止，請按 SHIFTMODE右鍵31 回到 Norm 1。
03

程式碼及按鍵

001_IQR_quartiles.fx50COMP · 228 bytes
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M
  • : 用 EXE（編輯程式時）；◢ 用 SHIFT34，◢ 之後不要按 EXE。
  • −1→Y 及 (−1)^( 的 − 是負號 (−)；其餘的 − 都是減號 −。
  • 換行只為方便閱讀；每行最尾的 : 都要輸入。

程式解說

句子作用
ClrMemory:1→B清除記憶；B 最前面放一個 1 作記號
For 1→C To 6 … Next最多讀 6 組數據（For 裏面沒有其他迴圈）
X→D:?→XD ＝ 上一組的 x；輸入新的 x（提示顯示上一個 x）
−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break輸入頻數；提示顯示 −1，直接按 EXE ＝ 輸入完畢
100A+X−D→A把「x 與上一個 x 的差」逐組存入 A（每組兩位數）
100B+M→B把「之前各組的累積頻數」逐組存入 B（每組兩位數）
YM+M ＝ 數據總數 N
(2M+1−(−1)^(M))÷8→DD ＝ 相鄰兩個四分位數位置的距離
(M+1)÷2−D→CC ＝ Q₁ 的位置
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1做三次（Q₁、Q₂、Q₃），每次 C 加 D
Fix 0 … WhileEnd由最後一組向前逐組讀出，計出位置 C 的數值（位置是 .5 就取前後兩個數據的平均）
Norm 1:C◢Y◢回到一般顯示；顯示位置 C 及數值 Y
M>0⇒−Y→M只在第一次（Q₁）把 −Q₁ 存入 M
Y+M最後顯示 Q₃ − Q₁ ＝ IQR

把程式輸入計算機

  1. MODE 6（PRGM）→ 1（EDIT）→ 選一個空的程式區，例如 1（P1）→ 1（COMP）。
  2. 按下面的「逐鍵按法」，由第 1 步輸入到最後一步。
  3. 輸入完按 AC 離開。
  4. 核對：再按 MODE 6 1，下行應顯示 P-1234 452（680 − 228 = 452 bytes 未用；其他程式區有程式時數字會更少），然後按 AC。

最容易漏的是第 67 步：(−1 之後的 )。漏了程式只有 227 bytes（核對時會見到 453），而且結果全錯——例如第一個位置變成 −42.625。見到負數位置，先檢查這一步。

按鍵速查

程式用到的每一種符號及其按鍵。

符號按鍵意思
正在載入表格…（此表格需要 JavaScript）

逐鍵按法（共 209 步）

由第 1 步按到最後一步，就完成輸入。表格可以上下捲動，標題會固定在頂部。

逐鍵按法（共 209 步）
步符號按鍵
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04

計算機操作

每個例題都在計算機上做一次：先看題目及數據，再由執行程式開始，逐步列出要輸入的按鍵，以及按完後畫面顯示甚麼。

例題一

題目

下表顯示某班學生擁有的筆的數目的分佈。求該分佈的四分位數間距。

例題一的數據
筆的數目45678
學生人數68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
輸入
4,65,86,87,48,2直接 EXE:EXEEXE
顯示
7.5514.55.521.561
例題一的按鍵及螢幕顯示
#要輸入按完後畫面說明
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例題二

題目

下面的棒形圖顯示某班 25 名學生上星期做運動的日數的分佈。求該分佈的四分位數間距。

上星期做運動的日數做運動的日數 → 學生人數: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789做運動的日數學生人數
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
輸入
1,32,33,74,85,4直接 EXE:EXEEXE
顯示
6.52.513319.541.5
例題二的按鍵及螢幕顯示
#要輸入按完後畫面說明
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例題三

題目

下表顯示 40 名學生的兄弟姊妹數目的分佈。

例題三的數據
兄弟姊妹數目012345
學生人數10128631
  1. (a)求該分佈的中位數。
  2. (b)求該分佈的四分位數間距。
輸入
0,101,122,83,64,35,1
顯示
10.50.520.5130.52.52

這個表剛好有 6 組：輸入第 6 組的頻數後，程式會自動開始計算，毋須再按空白的 EXE。

例題三的按鍵及螢幕顯示
#要輸入按完後畫面說明
正在載入表格…（此表格需要 JavaScript）

注意

  • 輸入提示（X?、Y?）在下行左邊，右邊是該變數現時的值；上行暫時空白，你輸入的數字會在上行出現，按 EXE 確認。
  • 下行的整數會連小數點一起顯示，例如 5 顯示為「5.」、−1 顯示為「-1.」。
  • 程式停下來顯示結果時，下行右下角會亮 Disp，按 EXE 看下一個；程式完結時 Disp 熄滅。程式執行期間，螢幕頂部亮 PRGM 及程式區（例如方框 P1）。
  • 第 1 步用 Prog 鍵打開 P1–P4 選單，按 1 執行 P1；亦可用 MODE 6 → 2（RUN）→ 1。