That Developer Steven
001الرياضيات · الإحصاء

الربيعيات والمدى الربيعي

برنامج IQR للربيعيات

أدخل كل قيمة وتكرارها من جدول تكراري (أو مخطط أعمدة)؛ يتبع البرنامج طريقة DSE ليعرض موقع كلٍّ من Q₁ و Q₂ و Q₃ وقيمته، ثم المدى الربيعي.

أمثلة محلولةالبرنامج والمفاتيح
  • 228 بايتًا
  • وضع COMP
  • حتى 6 مجموعات
01

أمثلة محلولة

المثال 1

يبيّن الجدول توزيع عدد الأقلام التي يملكها طلاب أحد الصفوف. أوجد المدى الربيعي للتوزيع.

بيانات المثال 1
عدد الأقلام45678
عدد الطلاب68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
الإجابة
A — المدى الربيعي يساوي 1
الحل القياسي (دون آلة حاسبة)
  1. المجموع: N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
  2. التكرارات التراكمية:
    التكرارات التراكمية في المثال 1
    عدد الأقلام45678
    التكرار التراكمي614222628
  3. الوسيط: الموقع = = 14.5، أي متوسط القيمتين رقم 14 و 15. من التكرارات التراكمية، القيمة رقم 14 هي 5 والقيمة رقم 15 هي 6.
    ∴ Q₂ = = 5.5
  4. الربيع الأدنى: N زوجي، لذا فالنصف الأدنى هو القيم من رقم 1 إلى رقم 14.
    Q₁ = = = 5
  5. الربيع الأعلى: النصف الأعلى هو القيم من رقم 15 إلى رقم 28.
    Q₃ = = = 6
  6. المدى الربيعي = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
    ∴ الإجابة هي A.
حلّه بالآلة الحاسبة

المثال 2

يبيّن مخطط الأعمدة توزيع عدد أيام ممارسة الرياضة في الأسبوع الماضي لدى 25 طالبًا من أحد الصفوف. أوجد المدى الربيعي للتوزيع.

أيام ممارسة الرياضة في الأسبوع الماضيعدد الأيام → عدد الطلاب: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789عدد الأيامعدد الطلاب
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
الإجابة
B — المدى الربيعي يساوي 1.5
الحل القياسي (دون آلة حاسبة)
  1. المجموع: N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
  2. التكرارات التراكمية:
    التكرارات التراكمية في المثال 2
    عدد الأيام12345
    التكرار التراكمي36132125
  3. الوسيط: الموقع = = 13، ∴ Q₂ = القيمة رقم 13 = 3
  4. النصفان: N فردي، لذا لا ينتمي الوسيط (القيمة رقم 13) إلى أيٍّ من النصفين. النصف الأدنى هو القيم من رقم 1 إلى رقم 12؛ والنصف الأعلى هو القيم من رقم 14 إلى رقم 25.
  5. الربيع الأدنى: Q₁ = وسيط النصف الأدنى = = = 2.5
  6. الربيع الأعلى: Q₃ = وسيط النصف الأعلى = = = 4
  7. المدى الربيعي = ‎4 − 2.5 = 1.5
    ∴ الإجابة هي B.

خطأ شائع: احتساب الوسيط في النصفين كليهما (من رقم 1 إلى رقم 13 للنصف الأدنى) يعطي Q₁ = 3 و Q₃ = 4 والمدى الربيعي = 1 — وهو الخيار الخاطئ A.

حلّه بالآلة الحاسبة

المثال 3

يبيّن الجدول توزيع عدد الإخوة والأخوات لدى 40 طالبًا.

بيانات المثال 3
عدد الإخوة والأخوات012345
عدد الطلاب10128631
  1. (a)أوجد وسيط التوزيع.
  2. (b)أوجد المدى الربيعي للتوزيع.
الإجابة
(a) الوسيط = 1　(b) المدى الربيعي = 2
الحل القياسي (دون آلة حاسبة)
  1. المجموع: N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
  2. التكرارات التراكمية:
    التكرارات التراكمية في المثال 3
    عدد الإخوة والأخوات012345
    التكرار التراكمي102230363940
  3. (a) الوسيط: الموقع = = 20.5
    الوسيط = = = 1
  4. (b) الربيع الأدنى: النصف الأدنى هو القيم من رقم 1 إلى رقم 20.
    Q₁ = = = 0.5
  5. الربيع الأعلى: النصف الأعلى هو القيم من رقم 21 إلى رقم 40.
    Q₃ = = = 2.5
  6. المدى الربيعي = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
حلّه بالآلة الحاسبة
02

متى تستخدمه

في محور الإحصاء من رياضيات HKDSE (الجزء الإلزامي)، كثيرًا ما تحتاج إلى إيجاد الربيع الأدنى Q₁ والوسيط Q₂ والربيع الأعلى Q₃ والمدى الربيعي (IQR) من جدول تكراري أو مخطط أعمدة. يدويًا، تحسب المجموع، وتكوّن التكرارات التراكمية، وتحدد كل موقع — وعندما يكون N فرديًا عليك أن تتذكر استبعاد الوسيط من النصفين كليهما. الخطوات كثيرة، ومن السهل أن تخطئ في العدّ.

يتولى البرنامج 001 العدّ عنك. أدخل كل قيمة وتكرارها، فيعرض موقع وقيمة كلٍّ من Q₁ و Q₂ و Q₃ بالتتابع، ثم المدى الربيعي. تخبرك المواقع بأي ربيع يظهر على الشاشة، وتسهّل مقارنة النتائج بحلك الخاص.

  • استخدمه في

    • الجداول التكرارية أو مخططات الأعمدة للبيانات المنفصلة
    • إيجاد الربيع الأدنى أو الوسيط أو الربيع الأعلى أو المدى الربيعي
    • التحقق من إجابات الورقة الأولى (الأسئلة الطويلة)؛ والإجابة بسرعة عن أسئلة الاختيار من متعدد في الورقة الثانية

  • ما تُدخله

    • كل قيمة x وتكرارها f (x أولًا)، بدءًا بأصغر قيمة
    • حتى 6 مجموعات؛ ثم اضغط EXE مرة عند X?‎ ومرة عند Y?‎
    • مع 6 مجموعات بالضبط يبدأ البرنامج تلقائيًا

  • ما يعرضه

    • موقع Q₁، ثم Q₁
    • موقع Q₂، ثم Q₂ (الوسيط)
    • موقع Q₃، ثم Q₃
    • أخيرًا: IQR = Q₃ − Q₁

طريقة DSE التي يتبعها

  1. رتّب البيانات (وعددها N) ترتيبًا تصاعديًا.
  2. يقع الوسيط Q₂ في الموقع .
  3. قسّم البيانات إلى نصف أدنى ونصف أعلى؛ عندما يكون N فرديًا، لا ينتمي الوسيط إلى أيٍّ من النصفين.
  4. Q₁ = وسيط النصف الأدنى، Q₃ = وسيط النصف الأعلى، IQR = Q₃ − Q₁.
  5. الموقع الذي ينتهي بـ ‎.5 (مثل 7.5) يعني متوسط القيمتين رقم 7 و 8.

الحدود والنصائح

  • حتى 6 مجموعات؛ وقيمتان على الأقل إجمالًا.
  • يجب أن تكون كل x عددًا صحيحًا، وأن تُدخَل بترتيب تصاعدي؛ ويجب ألا تتجاوز أول قيمة x العدد 99، وألا يتجاوز الفرق بين أي قيمتين متجاورتين 99.
  • يجب ألا يتجاوز التكرار التراكمي قبل المجموعة الأخيرة 99 (أما التكرار الأخير فيمكن أن يكون أكبر).
  • القيم الكبيرة (مثل 150): اطرح العدد نفسه من كل x أولًا، ثم أضفه مجددًا إلى Q₁ و Q₂ و Q₃؛ ويبقى المدى الربيعي دون تغيير.
  • القيم العشرية أو السالبة: اضربها في 10 أو أضف إليها ثابتًا لتحصل على أعداد صحيحة غير سالبة، ثم حوّل النتائج إلى الصورة الأصلية.
  • ينتقل البرنامج إلى Fix 0 أثناء الحساب ويعود إلى Norm 1 في النهاية. إذا أوقفته بالضغط على AC، فاضغط SHIFTMODEيمين31 للعودة إلى Norm 1.
03

البرنامج والمفاتيح

001_IQR_quartiles.fx50COMP · 228 بايتًا
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M
  • يُدخَل : بالمفتاح EXE أثناء التحرير، ويُدخَل ◢ بالمفاتيح SHIFT34 — لا تضغط EXE بعد ◢.
  • علامة − في −1→Y و (−1)^( هي إشارة السالب (−)؛ وكل − أخرى هي مفتاح الطرح −.
  • فواصل الأسطر للقراءة فقط؛ أما : في نهاية كل سطر فيجب إدخالها بالمفاتيح.

كيف يعمل

التعليمةوظيفتها
ClrMemory:1→Bيمسح الذاكرة ويضع في B الرقم 1 في المقدمة ليكون علامة
For 1→C To 6 … Nextيقرأ حتى 6 مجموعات (دون حلقة داخل For)
X→D:?→XD = قيمة x السابقة؛ يطلب قيمة x الجديدة (تعرض المطالبة قيمة x السابقة)
−1→Y:?→Y:Y<0⇒Breakيطلب التكرار؛ تعرض المطالبة ‎−1، والضغط على EXE وحده ينهي الإدخال
100A+X−D→Aيحزم الفرق عن قيمة x السابقة في A، برقمين لكل مجموعة
100B+M→Bيحزم التكرار التراكمي السابق لكل مجموعة في B، برقمين لكل مجموعة
YM+M = المجموع N
(2M+1−(−1)^(M))÷8→DD = المسافة بين مواقع الربيعيات المتجاورة
(M+1)÷2−D→CC = موقع Q₁
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1يُنفَّذ ثلاث مرات (Q₁ و Q₂ و Q₃)، مع إضافة D إلى C في كل مرة
Fix 0 … WhileEndيفك حزم المجموعات بدءًا من الأخيرة رجوعًا، ويجد القيمة عند الموقع C (متوسط قيمتين عندما ينتهي C بـ ‎.5)
Norm 1:C◢Y◢يعود إلى العرض العادي؛ ويعرض الموقع C والقيمة Y
M>0⇒−Y→Mفي المرة الأولى فقط (Q₁): يخزن ‎−Q₁ في M
Y+Mيعرض أخيرًا Q₃ − Q₁ = IQR

كتابة البرنامج

  1. اضغط MODE 6 (PRGM)، ثم 1 (EDIT)، ثم اختر منطقة برنامج فارغة، مثل 1 (P1)، ثم 1 (COMP).
  2. أدخل الجدول أدناه، من الخطوة 1 حتى الخطوة الأخيرة.
  3. اضغط AC للخروج من المحرر.
  4. تحقق: اضغط MODE 6 1 مرة أخرى. يجب أن يعرض السطر السفلي P-1234 452 (‎680 − 228 = 452 بايت متاحة؛ أو أقل إذا كانت مناطق أخرى تحتوي على برامج). ثم اضغط AC.

أكثر خطوة يُغفَل عنها هي الخطوة 67: القوس ) بعد (−1. من دونه يصبح حجم البرنامج 227 بايت (ويعرض التحقق 453)، وتكون كل النتائج خاطئة — فيصبح الموقع الأول ‎−42.625 مثلًا. إذا ظهر موقع سالب، فتحقق من هذه الخطوة أولًا.

مرجع المفاتيح

كل نوع من الرموز التي يستخدمها البرنامج، مع مفاتيحه.

الرمزالمفاتيحالمعنى
جارٍ تحميل الجدول… (يتطلب هذا الجدول JavaScript)

كل المفاتيح بالترتيب (209 خطوات)

تابع من الخطوة 1 حتى الخطوة الأخيرة لإتمام الإدخال. يمكن تمرير الجدول، ويبقى رأسه ظاهرًا.

كل المفاتيح بالترتيب (209 خطوات)
الخطوةالرمزالمفاتيح
جارٍ تحميل الجدول… (يتطلب هذا الجدول JavaScript)
04

على الآلة الحاسبة

كل مثال على الآلة الحاسبة: السؤال وبياناته أولًا، ثم كل مفتاح تُدخله منذ بدء تشغيل البرنامج وما تعرضه الشاشة بعد ذلك.

المثال 1

السؤال

يبيّن الجدول توزيع عدد الأقلام التي يملكها طلاب أحد الصفوف. أوجد المدى الربيعي للتوزيع.

بيانات المثال 1
عدد الأقلام45678
عدد الطلاب68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
أدخل
4,65,86,87,48,2EXE فقط:EXEEXE
يعرض
7.5514.55.521.561
المفاتيح والشاشة في المثال 1
#أدخلالشاشة بعدهاملاحظات
جارٍ تحميل الجدول… (يتطلب هذا الجدول JavaScript)

المثال 2

السؤال

يبيّن مخطط الأعمدة توزيع عدد أيام ممارسة الرياضة في الأسبوع الماضي لدى 25 طالبًا من أحد الصفوف. أوجد المدى الربيعي للتوزيع.

أيام ممارسة الرياضة في الأسبوع الماضيعدد الأيام → عدد الطلاب: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789عدد الأيامعدد الطلاب
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
أدخل
1,32,33,74,85,4EXE فقط:EXEEXE
يعرض
6.52.513319.541.5
المفاتيح والشاشة في المثال 2
#أدخلالشاشة بعدهاملاحظات
جارٍ تحميل الجدول… (يتطلب هذا الجدول JavaScript)

المثال 3

السؤال

يبيّن الجدول توزيع عدد الإخوة والأخوات لدى 40 طالبًا.

بيانات المثال 3
عدد الإخوة والأخوات012345
عدد الطلاب10128631
  1. (a)أوجد وسيط التوزيع.
  2. (b)أوجد المدى الربيعي للتوزيع.
أدخل
0,101,122,83,64,35,1
يعرض
10.50.520.5130.52.52

يحتوي هذا الجدول على 6 مجموعات بالضبط: يبدأ البرنامج فور إدخال التكرار السادس — ولا حاجة إلى ضغط EXE على إدخال فارغ.

المفاتيح والشاشة في المثال 3
#أدخلالشاشة بعدهاملاحظات
جارٍ تحميل الجدول… (يتطلب هذا الجدول JavaScript)

ملاحظات

  • تظهر مطالبات الإدخال (X?‎ و Y?‎) في يسار السطر السفلي، والقيمة الحالية للمتغير في يمينه؛ ويبقى السطر العلوي فارغًا حتى تبدأ الكتابة، ويؤكد EXE الإدخال.
  • تحتفظ الأعداد الصحيحة في السطر السفلي بالفاصلة العشرية: يظهر 5 على شكل «‎5.‎» و ‎−1 على شكل «‎-1.‎».
  • عندما يتوقف البرنامج لعرض نتيجة، يضيء المؤشر Disp في أسفل يمين السطر السفلي؛ اضغط EXE لعرض النتيجة التالية. وينطفئ Disp عند انتهاء البرنامج. وفي أثناء التشغيل، يضيء في الأعلى PRGM ورقم منطقة البرنامج داخل إطار (مثل P1).
  • تفتح الخطوة 1 قائمة P1–P4 بالمفتاح Prog؛ اضغط 1 لتشغيل P1. ويعمل التسلسل MODE 6 → 2 (RUN) → 1 أيضًا.