That Developer Steven
001Mathématiques · Statistiques

Quartiles et écart interquartile

Le programme des quartiles et de l’IQR

Saisissez chaque valeur et son effectif à partir d’un tableau d’effectifs (ou d’un diagramme en bâtons) ; le programme suit la méthode du DSE pour afficher la position et la valeur de Q₁, Q₂ et Q₃, puis l’écart interquartile.

Exemples corrigésProgramme et touches
  • 228 octets
  • Mode COMP
  • Jusqu’à 6 groupes
01

Exemples corrigés

Exemple 1

Le tableau donne la répartition du nombre de stylos possédés par les élèves d’une classe. Déterminer l’écart interquartile de cette série.

Exemple 1 : données
Nombre de stylos45678
Nombre d’élèves68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Réponse
A — l’écart interquartile vaut 1
Solution standard (sans calculatrice)
  1. Effectif total : N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
  2. Effectifs cumulés :
    Exemple 1 : effectifs cumulés
    Nombre de stylos45678
    Effectif cumulé614222628
  3. Médiane : position = = 14.5, soit la moyenne de la 14ᵉ et de la 15ᵉ donnée. D’après les effectifs cumulés, la 14ᵉ donnée vaut 5 et la 15ᵉ vaut 6.
    ∴ Q₂ = = 5.5
  4. Premier quartile : N est pair, donc la moitié inférieure va de la 1ʳᵉ à la 14ᵉ donnée.
    Q₁ = = = 5
  5. Troisième quartile : la moitié supérieure va de la 15ᵉ à la 28ᵉ donnée.
    Q₃ = = = 6
  6. Écart interquartile = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
    ∴ La réponse est A.
Le faire à la calculatrice

Exemple 2

Le diagramme en bâtons donne la répartition du nombre de jours où 25 élèves d’une classe ont fait du sport la semaine dernière. Déterminer l’écart interquartile de cette série.

Jours de sport la semaine dernièreNombre de jours → Nombre d’élèves: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789Nombre de joursNombre d’élèves
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Réponse
B — l’écart interquartile vaut 1.5
Solution standard (sans calculatrice)
  1. Effectif total : N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
  2. Effectifs cumulés :
    Exemple 2 : effectifs cumulés
    Nombre de jours12345
    Effectif cumulé36132125
  3. Médiane : position = = 13, ∴ Q₂ = la 13ᵉ donnée = 3
  4. Les deux moitiés : N est impair, donc la médiane (la 13ᵉ donnée) n’appartient à aucune des deux moitiés. La moitié inférieure va de la 1ʳᵉ à la 12ᵉ donnée ; la moitié supérieure, de la 14ᵉ à la 25ᵉ donnée.
  5. Premier quartile : Q₁ = médiane de la moitié inférieure = = = 2.5
  6. Troisième quartile : Q₃ = médiane de la moitié supérieure = = = 4
  7. Écart interquartile = 4 − 2.5 = 1.5
    ∴ La réponse est B.

Erreur fréquente : compter la médiane dans les deux moitiés (de la 1ʳᵉ à la 13ᵉ donnée pour la moitié inférieure) donne Q₁ = 3, Q₃ = 4 et IQR = 1 — la mauvaise réponse A.

Le faire à la calculatrice

Exemple 3

Le tableau donne la répartition du nombre de frères et sœurs de 40 élèves.

Exemple 3 : données
Nombre de frères et sœurs012345
Nombre d’élèves10128631
  1. (a)Déterminer la médiane de la série.
  2. (b)Déterminer l’écart interquartile de la série.
Réponse
(a) Médiane = 1　(b) Écart interquartile = 2
Solution standard (sans calculatrice)
  1. Effectif total : N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
  2. Effectifs cumulés :
    Exemple 3 : effectifs cumulés
    Nombre de frères et sœurs012345
    Effectif cumulé102230363940
  3. (a) Médiane : position = = 20.5
    Médiane = = = 1
  4. (b) Premier quartile : la moitié inférieure va de la 1ʳᵉ à la 20ᵉ donnée.
    Q₁ = = = 0.5
  5. Troisième quartile : la moitié supérieure va de la 21ᵉ à la 40ᵉ donnée.
    Q₃ = = = 2.5
  6. Écart interquartile = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
Le faire à la calculatrice
02

Quand l’utiliser

Dans le domaine Statistiques des mathématiques du HKDSE (partie obligatoire), on doit souvent déterminer le premier quartile Q₁, la médiane Q₂, le troisième quartile Q₃ et l’écart interquartile (IQR) à partir d’un tableau d’effectifs ou d’un diagramme en bâtons. À la main, il faut calculer l’effectif total, construire les effectifs cumulés et repérer chaque position — et, lorsque N est impair, ne pas oublier d’exclure la médiane des deux moitiés. Les étapes sont nombreuses et il est facile de se tromper en comptant.

Le programme 001 fait le décompte à votre place. Saisissez chaque valeur et son effectif : il affiche tour à tour la position et la valeur de Q₁, Q₂ et Q₃, puis l’IQR. Les positions indiquent quel quartile est à l’écran et facilitent la comparaison avec vos propres calculs.

  • À utiliser pour

    • Les tableaux d’effectifs ou diagrammes en bâtons de données discrètes
    • Le premier quartile, la médiane, le troisième quartile ou l’IQR
    • Vérifier vos réponses à l’épreuve 1 (Paper 1, questions rédigées) ; répondre rapidement aux QCM de l’épreuve 2 (Paper 2)

  • Vous saisissez

    • Chaque valeur x et son effectif f (x d’abord), en commençant par la plus petite valeur
    • Jusqu’à 6 groupes ; appuyez ensuite une fois sur EXE à l’invite X? puis une fois à l’invite Y?
    • Avec exactement 6 groupes, le programme démarre tout seul

  • Il affiche

    • Position de Q₁ → Q₁
    • Position de Q₂ → Q₂ (la médiane)
    • Position de Q₃ → Q₃
    • Enfin : IQR = Q₃ − Q₁

La méthode du DSE appliquée

  1. Ranger les N données dans l’ordre croissant.
  2. La médiane Q₂ se trouve à la position .
  3. Partager les données en une moitié inférieure et une moitié supérieure ; lorsque N est impair, la médiane n’appartient à aucune des deux moitiés.
  4. Q₁ = médiane de la moitié inférieure, Q₃ = médiane de la moitié supérieure, IQR = Q₃ − Q₁.
  5. Une position se terminant par .5 (par ex. 7.5) désigne la moyenne de la 7ᵉ et de la 8ᵉ donnée.

Limites et conseils

  • Jusqu’à 6 groupes ; au moins 2 données au total.
  • Chaque x doit être un nombre entier, saisi dans l’ordre croissant ; le premier x vaut au plus 99, et deux valeurs voisines diffèrent d’au plus 99.
  • L’effectif cumulé avant le dernier groupe vaut au plus 99 (le dernier effectif peut être plus grand).
  • Grandes valeurs (par ex. 150) : soustrayez d’abord un même nombre à chaque x, puis rajoutez-le à Q₁, Q₂ et Q₃ ; l’IQR reste inchangé.
  • Valeurs décimales ou négatives : multipliez par 10 ou ajoutez une constante pour obtenir des entiers positifs ou nuls, puis revenez aux valeurs d’origine.
  • Le programme passe en Fix 0 pendant le calcul et revient en Norm 1 à la fin. Si vous l’interrompez avec AC, appuyez sur SHIFTMODEDroite31 pour revenir en Norm 1.
03

Programme et touches

001_IQR_quartiles.fx50COMP · 228 octets
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M
  • : s’obtient avec EXE pendant l’édition ; ◢ s’obtient avec SHIFT34 — n’appuyez pas sur EXE après ◢.
  • Le − de −1→Y et de (−1)^( est le signe négatif (−) ; tous les autres − correspondent à la touche de soustraction −.
  • Les retours à la ligne ne servent qu’à la lisibilité ; le : à la fin de chaque ligne doit être saisi.

Fonctionnement

InstructionRôle
ClrMemory:1→BEfface la mémoire et place un 1 de tête dans B comme marqueur
For 1→C To 6 … NextLit jusqu’à 6 groupes (pas de boucle à l’intérieur du For)
X→D:?→XD = le x précédent ; demande le nouveau x (l’invite affiche le x précédent)
−1→Y:?→Y:Y<0⇒BreakDemande l’effectif ; l’invite affiche −1, et EXE seul termine la saisie
100A+X−D→ACode dans A l’écart avec le x précédent, à raison de deux chiffres par groupe
100B+M→BCode dans B l’effectif cumulé avant chaque groupe, à raison de deux chiffres par groupe
YM+M = l’effectif total N
(2M+1−(−1)^(M))÷8→DD = la distance entre deux positions de quartiles voisines
(M+1)÷2−D→CC = la position de Q₁
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1S’exécute trois fois (Q₁, Q₂, Q₃) en ajoutant D à C à chaque fois
Fix 0 … WhileEndDécode les groupes en partant du dernier et trouve la valeur à la position C (la moyenne de deux données lorsque C se termine par .5)
Norm 1:C◢Y◢Revient à l’affichage normal ; affiche la position C et la valeur Y
M>0⇒−Y→MLa première fois seulement (Q₁) : range −Q₁ dans M
Y+MAffiche enfin Q₃ − Q₁ = IQR

Saisir le programme

  1. MODE 6 (PRGM) → 1 (EDIT) → une zone de programme vide, par ex. 1 (P1) → 1 (COMP).
  2. Saisissez les touches du tableau ci-dessous, de l’étape 1 jusqu’à la dernière étape.
  3. Appuyez sur AC pour quitter l’éditeur.
  4. Vérification : appuyez de nouveau sur MODE 6 1. La ligne inférieure doit afficher P-1234 452 (680 − 228 = 452 octets libres ; moins si d’autres zones contiennent des programmes). Appuyez ensuite sur AC.

L’étape la plus souvent oubliée est l’étape 67 : la parenthèse ) après (−1. Sans elle, le programme fait 227 octets (la vérification affiche 453) et tous les résultats sont faux — la première position devient par exemple −42.625. Si une position est négative, vérifiez d’abord cette étape.

Aide-mémoire des touches

Chaque type de symbole utilisé par le programme, avec ses touches.

SymboleTouchesSignification
Chargement du tableau… (ce tableau nécessite JavaScript)

Toutes les touches, dans l’ordre (209 étapes)

Procédez de l’étape 1 jusqu’à la dernière étape. Le tableau défile et son en-tête reste visible.

Toutes les touches, dans l’ordre (209 étapes)
ÉtapeSymboleTouches
Chargement du tableau… (ce tableau nécessite JavaScript)
04

Sur la calculatrice

Chaque exemple fait à la calculatrice : d’abord l’énoncé et ses données, puis chaque touche à saisir depuis le lancement du programme et ce qu’affiche ensuite l’écran.

Exemple 1

Énoncé

Le tableau donne la répartition du nombre de stylos possédés par les élèves d’une classe. Déterminer l’écart interquartile de cette série.

Exemple 1 : données
Nombre de stylos45678
Nombre d’élèves68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Saisie
4,65,86,87,48,2EXE seul:EXEEXE
Affichage
7.5514.55.521.561
Exemple 1 : touches et écran
#SaisirÉcran ensuiteRemarques
Chargement du tableau… (ce tableau nécessite JavaScript)

Exemple 2

Énoncé

Le diagramme en bâtons donne la répartition du nombre de jours où 25 élèves d’une classe ont fait du sport la semaine dernière. Déterminer l’écart interquartile de cette série.

Jours de sport la semaine dernièreNombre de jours → Nombre d’élèves: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789Nombre de joursNombre d’élèves
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Saisie
1,32,33,74,85,4EXE seul:EXEEXE
Affichage
6.52.513319.541.5
Exemple 2 : touches et écran
#SaisirÉcran ensuiteRemarques
Chargement du tableau… (ce tableau nécessite JavaScript)

Exemple 3

Énoncé

Le tableau donne la répartition du nombre de frères et sœurs de 40 élèves.

Exemple 3 : données
Nombre de frères et sœurs012345
Nombre d’élèves10128631
  1. (a)Déterminer la médiane de la série.
  2. (b)Déterminer l’écart interquartile de la série.
Saisie
0,101,122,83,64,35,1
Affichage
10.50.520.5130.52.52

Ce tableau compte exactement 6 groupes : le programme démarre dès la saisie du 6ᵉ effectif — inutile d’appuyer sur EXE à vide.

Exemple 3 : touches et écran
#SaisirÉcran ensuiteRemarques
Chargement du tableau… (ce tableau nécessite JavaScript)

Remarques

  • Les invites de saisie (X?, Y?) apparaissent à gauche de la ligne inférieure, avec la valeur actuelle de la variable à droite ; la ligne supérieure reste vide tant que vous ne tapez rien, et EXE valide.
  • Les nombres entiers de la ligne inférieure conservent leur point décimal : 5 s’affiche « 5. » et −1 « -1. ».
  • Lorsque le programme marque une pause pour afficher un résultat, Disp s’allume en bas à droite de la ligne inférieure ; appuyez sur EXE pour passer au suivant. Disp s’éteint à la fin du programme. Pendant l’exécution, PRGM et la zone de programme encadrée (par ex. P1) s’allument en haut de l’écran.
  • L’étape 1 ouvre la liste P1–P4 avec la touche Prog ; appuyez sur 1 pour exécuter P1. MODE 6 → 2 (RUN) → 1 fonctionne également.