풀이 예제
예제 1
다음 표는 어느 반 학생들이 가진 펜의 개수의 분포를 나타낸 것입니다. 이 분포의 사분위수 범위를 구하십시오.
| 펜의 개수 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 학생 수 | 6 | 8 | 8 | 4 | 2 |
답
표준 풀이 (계산기 없이)
- 도수의 총합: N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
- 누적도수:
예제 1의 누적도수 펜의 개수 4 5 6 7 8 누적도수 6 14 22 26 28 - 중앙값: 위치 = = 14.5, 즉 14번째와 15번째 자료의 평균입니다. 누적도수를 보면 14번째 자료는 5, 15번째 자료는 6입니다.
∴ Q₂ = = 5.5 - 제1사분위수: N이 짝수이므로 하위 절반은 첫 번째부터 14번째 자료까지입니다.
Q₁ = = = 5 - 제3사분위수: 상위 절반은 15번째부터 28번째 자료까지입니다.
Q₃ = = = 6 - 사분위수 범위 = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
∴ 답은 A입니다.
예제 2
다음 막대그래프는 어느 반 학생 25명이 지난주에 운동한 날수의 분포를 나타낸 것입니다. 이 분포의 사분위수 범위를 구하십시오.
답
표준 풀이 (계산기 없이)
- 도수의 총합: N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
- 누적도수:
예제 2의 누적도수 날수 1 2 3 4 5 누적도수 3 6 13 21 25 - 중앙값: 위치 = = 13, ∴ Q₂ = 13번째 자료 = 3
- 하위 절반과 상위 절반: N이 홀수이므로 중앙값(13번째 자료)은 어느 쪽 절반에도 속하지 않습니다. 하위 절반은 첫 번째부터 12번째 자료까지, 상위 절반은 14번째부터 25번째 자료까지입니다.
- 제1사분위수: Q₁ = 하위 절반의 중앙값 = = = 2.5
- 제3사분위수: Q₃ = 상위 절반의 중앙값 = = = 4
- 사분위수 범위 = 4 − 2.5 = 1.5
∴ 답은 B입니다.
흔한 실수: 중앙값을 양쪽 절반에 모두 넣으면(하위 절반을 첫 번째부터 13번째까지로 잡으면) Q₁ = 3, Q₃ = 4, IQR = 1이 되어 오답인 A를 고르게 됩니다.
예제 3
다음 표는 학생 40명의 형제자매 수의 분포를 나타낸 것입니다.
| 형제자매 수 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 학생 수 | 10 | 12 | 8 | 6 | 3 | 1 |
- (a)이 분포의 중앙값을 구하십시오.
- (b)이 분포의 사분위수 범위를 구하십시오.
답
표준 풀이 (계산기 없이)
- 도수의 총합: N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
- 누적도수:
예제 3의 누적도수 형제자매 수 0 1 2 3 4 5 누적도수 10 22 30 36 39 40 - (a) 중앙값: 위치 = = 20.5
중앙값 = = = 1 - (b) 제1사분위수: 하위 절반은 첫 번째부터 20번째 자료까지입니다.
Q₁ = = = 0.5 - 제3사분위수: 상위 절반은 21번째부터 40번째 자료까지입니다.
Q₃ = = = 2.5 - 사분위수 범위 = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
활용 상황
HKDSE 수학(필수 과정)의 통계 영역에서는 도수분포표나 막대그래프로부터 제1사분위수 Q₁, 중앙값 Q₂, 제3사분위수 Q₃ 및 사분위수 범위(IQR)를 구해야 하는 경우가 많습니다. 손으로 풀려면 도수의 총합을 내고, 누적도수를 구하고, 각 위치를 찾아야 하며, N이 홀수일 때는 중앙값을 양쪽 절반 어디에도 넣지 않아야 한다는 점을 기억해야 합니다. 단계가 많아 잘못 세기 쉽습니다.
프로그램 001은 이렇게 세는 작업을 대신해 줍니다. 각 값과 그 도수를 입력하면 Q₁, Q₂, Q₃의 위치와 값을 차례로 보여 준 다음 IQR을 표시합니다. 위치를 보면 지금 화면에 어느 사분위수가 나와 있는지 알 수 있고, 자신의 풀이와 비교하기도 쉽습니다.
이럴 때 사용합니다
- 이산형 자료의 도수분포표 또는 막대그래프
- 제1사분위수, 중앙값, 제3사분위수 또는 IQR 구하기
- Paper 1(서술형) 답 검산; Paper 2 객관식 문제 빠르게 풀기
입력하는 내용
- 각 값 x와 그 도수 f (x 먼저), 가장 작은 값부터
- 최대 6개 그룹; 입력이 끝나면 X?에서 한 번, Y?에서 한 번 EXE를 누릅니다
- 정확히 6개 그룹이면 자동으로 시작합니다
표시되는 내용
- Q₁의 위치 → Q₁
- Q₂의 위치 → Q₂ (중앙값)
- Q₃의 위치 → Q₃
- 마지막으로: IQR = Q₃ − Q₁
프로그램이 따르는 DSE 방법
- N개의 자료를 오름차순으로 나열합니다.
- 중앙값 Q₂는 번째 위치에 있습니다.
- 자료를 하위 절반과 상위 절반으로 나눕니다. N이 홀수이면 중앙값은 어느 쪽 절반에도 속하지 않습니다.
- Q₁ = 하위 절반의 중앙값, Q₃ = 상위 절반의 중앙값, IQR = Q₃ − Q₁.
- 위치가 .5로 끝나면(예: 7.5) 7번째와 8번째 자료의 평균을 뜻합니다.
제한 사항과 팁
- 최대 6개 그룹이며, 자료는 모두 합쳐 2개 이상이어야 합니다.
- 각 x는 정수여야 하며 오름차순으로 입력합니다. 첫 번째 x는 최대 99이고, 이웃한 두 값의 차이도 최대 99입니다.
- 마지막 그룹 전까지의 누적도수는 최대 99입니다 (마지막 그룹의 도수는 더 커도 됩니다).
- 큰 값(예: 150): 먼저 모든 x에서 같은 수를 뺀 다음, 결과로 나온 Q₁, Q₂, Q₃에 그 수를 다시 더합니다. IQR은 변하지 않습니다.
- 소수나 음수 값: 10을 곱하거나 상수를 더해 0 이상의 정수로 만든 다음, 결과를 다시 원래대로 환산합니다.
- 프로그램은 계산하는 동안 Fix 0으로 바꾸고 끝날 때 Norm 1로 되돌립니다. AC로 중간에 멈췄다면 SHIFTMODE오른쪽31을 눌러 Norm 1로 돌아가십시오.
프로그램과 키
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M:는 편집 중에 EXE로 입력하고,◢는 SHIFT34로 입력합니다.◢다음에는 EXE를 누르지 마십시오.−1→Y와(−1)^(의−는 음수 부호 (−)이고, 나머지−는 모두 빼기 키 −입니다.- 줄 바꿈은 읽기 편하도록 넣은 것일 뿐이며, 각 줄 끝의
:는 반드시 입력해야 합니다.
작동 원리
| 명령문 | 역할 |
|---|---|
ClrMemory:1→B | 메모리를 지우고 B의 맨 앞에 표시용 1을 넣습니다 |
For 1→C To 6 … Next | 최대 6개 그룹을 읽습니다 (For 안에 다른 반복문 없음) |
X→D:?→X | D = 이전 x; 새 x를 입력받습니다 (입력 안내에 이전 x가 표시됨) |
−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break | 도수를 입력받습니다. 입력 안내에 −1이 표시되며, EXE만 누르면 입력이 끝납니다 |
100A+X−D→A | 이전 x와의 차이를 그룹마다 두 자리씩 A에 담습니다 |
100B+M→B | 각 그룹 이전까지의 누적도수를 그룹마다 두 자리씩 B에 담습니다 |
YM+ | M = 도수의 총합 N |
(2M+1−(−1)^(M))÷8→D | D = 이웃한 사분위수 위치 사이의 간격 |
(M+1)÷2−D→C | C = Q₁의 위치 |
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1 | 세 번(Q₁, Q₂, Q₃) 실행하며, 매번 C에 D를 더합니다 |
Fix 0 … WhileEnd | 마지막 그룹부터 거꾸로 그룹을 꺼내 위치 C의 값을 찾습니다 (C가 .5로 끝나면 두 자료의 평균) |
Norm 1:C◢Y◢ | 일반 표시로 돌아가 위치 C와 값 Y를 표시합니다 |
M>0⇒−Y→M | 첫 번째 반복(Q₁)에서만 −Q₁을 M에 저장합니다 |
Y+M | 마지막으로 Q₃ − Q₁ = IQR을 표시합니다 |
프로그램 입력하기
- MODE 6 (PRGM) → 1 (EDIT) → 빈 프로그램 영역 선택, 예: 1 (P1) → 1 (COMP).
- 아래 표를 1단계부터 마지막 단계까지 입력합니다.
- AC를 눌러 편집기에서 나옵니다.
- 확인: MODE 6 1을 다시 누릅니다. 아래쪽 줄에
P-1234 452가 표시되어야 합니다 (680 − 228 = 452바이트 남음; 다른 영역에 프로그램이 있으면 더 적음). 그런 다음 AC를 누릅니다.
가장 자주 빠뜨리는 단계는 67단계, 즉 (−1 다음의 )입니다. 이것이 없으면 프로그램이 227바이트가 되고(확인 화면에 453 표시) 모든 결과가 틀립니다. 예를 들어 첫 번째 위치가 −42.625가 됩니다. 위치가 음수로 나오면 이 단계부터 확인하십시오.
키 참조표
프로그램에 쓰이는 모든 종류의 기호와 해당 키입니다.
| 기호 | 키 | 의미 |
|---|---|---|
| 표를 불러오는 중… (이 표는 JavaScript가 필요합니다) | ||
모든 키를 순서대로 (209단계)
1단계부터 마지막 단계까지 차례로 입력하면 완료됩니다. 표는 스크롤되며 머리글은 계속 보입니다.
| 단계 | 기호 | 키 |
|---|---|---|
| 표를 불러오는 중… (이 표는 JavaScript가 필요합니다) | ||
계산기에서 실행하기
각 예제를 계산기로 풀어 봅니다. 먼저 문제와 데이터를 확인한 뒤, 프로그램 실행부터 입력할 키와 누른 뒤의 화면을 차례로 보여 줍니다.
예제 1
문제
다음 표는 어느 반 학생들이 가진 펜의 개수의 분포를 나타낸 것입니다. 이 분포의 사분위수 범위를 구하십시오.
| 펜의 개수 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 학생 수 | 6 | 8 | 8 | 4 | 2 |
- 입력
- 4,65,86,87,48,2EXE만 누름:EXEEXE
- 표시
- 7.5514.55.521.561
| # | 입력할 키 | 누른 뒤 화면 | 설명 |
|---|---|---|---|
| 표를 불러오는 중… (이 표는 JavaScript가 필요합니다) | |||
예제 2
문제
다음 막대그래프는 어느 반 학생 25명이 지난주에 운동한 날수의 분포를 나타낸 것입니다. 이 분포의 사분위수 범위를 구하십시오.
- 입력
- 1,32,33,74,85,4EXE만 누름:EXEEXE
- 표시
- 6.52.513319.541.5
| # | 입력할 키 | 누른 뒤 화면 | 설명 |
|---|---|---|---|
| 표를 불러오는 중… (이 표는 JavaScript가 필요합니다) | |||
예제 3
문제
다음 표는 학생 40명의 형제자매 수의 분포를 나타낸 것입니다.
| 형제자매 수 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 학생 수 | 10 | 12 | 8 | 6 | 3 | 1 |
- (a)이 분포의 중앙값을 구하십시오.
- (b)이 분포의 사분위수 범위를 구하십시오.
- 입력
- 0,101,122,83,64,35,1
- 표시
- 10.50.520.5130.52.52
이 표는 정확히 6개 그룹입니다. 6번째 도수를 입력하는 즉시 프로그램이 시작되므로 아무것도 입력하지 않고 EXE를 누를 필요가 없습니다.
| # | 입력할 키 | 누른 뒤 화면 | 설명 |
|---|---|---|---|
| 표를 불러오는 중… (이 표는 JavaScript가 필요합니다) | |||
참고
- 입력 안내(X?, Y?)는 아래쪽 줄 왼쪽에, 그 변수의 현재 값은 오른쪽에 표시됩니다. 위쪽 줄은 입력하기 전까지 비어 있으며, EXE로 확정합니다.
- 아래쪽 줄의 정수는 소수점과 함께 표시됩니다. 5는 “5.”, −1은 “-1.”로 표시됩니다.
- 프로그램이 결과를 보여 주며 멈추면 아래쪽 줄 오른쪽 아래에 Disp가 켜집니다. EXE를 누르면 다음 결과가 나옵니다. 프로그램이 끝나면 Disp가 꺼집니다. 실행 중에는 화면 위쪽에 PRGM과 네모 틀 안의 프로그램 영역(예: P1)이 켜집니다.
- 1단계에서는 Prog 키로 P1–P4 목록을 열고 1을 눌러 P1을 실행합니다. MODE 6 → 2 (RUN) → 1로도 실행할 수 있습니다.