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001数学 · 统计

四分位数与四分位距

IQR 四分位数程序

输入频数分布表（或条形图）中每组的数值及其频数，程序按 DSE 的方法依次显示 Q₁、Q₂、Q₃ 的位置和数值，最后显示四分位距。

例题详解程序与按键
  • 228 字节
  • COMP 模式
  • 最多 6 组
01

例题详解

例题一

下表显示某班学生所拥有的笔的数量分布。求该分布的四分位距。

例题一的数据
笔的数量45678
学生人数68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
答案
A——四分位距为 1
标准解法（不用计算器）
  1. 总数：N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
  2. 累积频数：
    例题一的累积频数
    笔的数量45678
    累积频数614222628
  3. 中位数：位置 = = 14.5，即第 14 个和第 15 个数据的平均数。由累积频数可知，第 14 个数据是 5，第 15 个数据是 6。
    ∴ Q₂ = = 5.5
  4. 下四分位数：N 为偶数，所以下半部分是第 1 至第 14 个数据。
    Q₁ = = = 5
  5. 上四分位数：上半部分是第 15 至第 28 个数据。
    Q₃ = = = 6
  6. 四分位距 = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
    ∴ 答案为 A。
用计算器做这题

例题二

下面的条形图显示某班 25 名学生上周运动天数的分布。求该分布的四分位距。

上周运动的天数天数 → 学生人数: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789天数学生人数
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
答案
B——四分位距为 1.5
标准解法（不用计算器）
  1. 总数：N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
  2. 累积频数：
    例题二的累积频数
    天数12345
    累积频数36132125
  3. 中位数：位置 = = 13，∴ Q₂ = 第 13 个数据 = 3
  4. 分成两半：N 为奇数，所以中位数（第 13 个数据）不属于任何一半。下半部分是第 1 至第 12 个数据，上半部分是第 14 至第 25 个数据。
  5. 下四分位数：Q₁ = 下半部分的中位数 = = = 2.5
  6. 上四分位数：Q₃ = 上半部分的中位数 = = = 4
  7. 四分位距 = 4 − 2.5 = 1.5
    ∴ 答案为 B。

常见错误：把中位数同时计入两半（下半部分取第 1 至第 13 个数据），会得到 Q₁ = 3、Q₃ = 4、IQR = 1，即错误选项 A。

用计算器做这题

例题三

下表显示 40 名学生的兄弟姐妹人数的分布。

例题三的数据
兄弟姐妹人数012345
学生人数10128631
  1. (a)求该分布的中位数。
  2. (b)求该分布的四分位距。
答案
(a) 中位数 = 1　(b) 四分位距 = 2
标准解法（不用计算器）
  1. 总数：N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
  2. 累积频数：
    例题三的累积频数
    兄弟姐妹人数012345
    累积频数102230363940
  3. (a) 中位数：位置 = = 20.5
    中位数 = = = 1
  4. (b) 下四分位数：下半部分是第 1 至第 20 个数据。
    Q₁ = = = 0.5
  5. 上四分位数：上半部分是第 21 至第 40 个数据。
    Q₃ = = = 2.5
  6. 四分位距 = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
用计算器做这题
02

适用场景

在 HKDSE 数学（必修部分）的统计范畴中，经常需要从频数分布表或条形图求出下四分位数 Q₁、中位数 Q₂、上四分位数 Q₃ 及四分位距（IQR）。手算时要先数出总数、列出累积频数，再逐一确定位置；N 为奇数时还要记得把中位数排除在上下两半之外。步骤多，也容易数错。

程序 001 替你完成这些计数：依次输入每组的数值及其频数，程序就会逐一显示 Q₁、Q₂、Q₃ 的位置和数值，最后显示 IQR。看到位置，就知道屏幕上显示的是哪个四分位数，也方便与自己的计算过程对照。

  • 适用题型

    • 离散数据的频数分布表或条形图
    • 求下四分位数、中位数、上四分位数或四分位距
    • 核对卷一（长题）答案；快速解答卷二选择题

  • 你需要输入

    • 每组的数值 x 及其频数 f（先 x 后 f），从最小的数值开始
    • 最多 6 组；输入完后在 X? 和 Y? 处各直接按一次 EXE
    • 恰好 6 组时，程序会自动开始

  • 程序会显示

    • Q₁ 的位置 → Q₁
    • Q₂ 的位置 → Q₂（中位数）
    • Q₃ 的位置 → Q₃
    • 最后：IQR = Q₃ − Q₁

程序采用的 DSE 方法

  1. 把 N 个数据按从小到大的顺序排列。
  2. 中位数 Q₂ 位于第 个位置。
  3. 把数据分成下半部分和上半部分；N 为奇数时，中位数不属于任何一半。
  4. Q₁ = 下半部分的中位数，Q₃ = 上半部分的中位数，IQR = Q₃ − Q₁。
  5. 位置以 .5 结尾（例如 7.5）表示第 7 个和第 8 个数据的平均数。

限制与提示

  • 最多 6 组；数据总数至少为 2 个。
  • 每个 x 必须是整数，并按从小到大的顺序输入；第一个 x 不能超过 99，相邻两个数值之差也不能超过 99。
  • 最后一组之前的累积频数不能超过 99（最后一组的频数可以更大）。
  • 数值较大时（例如 150）：先把每个 x 减去同一个数，算完再把这个数加回 Q₁、Q₂ 和 Q₃；IQR 不变。
  • 数值为小数或负数时：先乘以 10 或加上一个常数，化为非负整数，算完再换算回来。
  • 程序计算时会切换到 Fix 0，结束时切回 Norm 1。如果中途按 AC 停止，请按 SHIFTMODE右方向键31 恢复 Norm 1。
03

程序与按键

001_IQR_quartiles.fx50COMP · 228 字节
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M
  • 编辑程序时，: 用 EXE 输入；◢ 用 SHIFT34 输入——◢ 之后不要按 EXE。
  • −1→Y 和 (−1)^( 中的 − 是负号 (−)；其余的 − 都是减号键 −。
  • 换行只是为了便于阅读；每行末尾的 : 都必须输入。

程序说明

语句作用
ClrMemory:1→B清除存储器，并在 B 的最前面放一个 1 作为标记
For 1→C To 6 … Next最多读入 6 组（For 内没有嵌套循环）
X→D:?→XD = 上一个 x；要求输入新的 x（提示显示上一个 x）
−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break要求输入频数；提示显示 −1，直接按 EXE 即结束输入
100A+X−D→A把与上一个 x 的差压缩存入 A，每组占两位数字
100B+M→B把每组之前的累积频数压缩存入 B，每组占两位数字
YM+M = 数据总数 N
(2M+1−(−1)^(M))÷8→DD = 相邻两个四分位数位置之间的距离
(M+1)÷2−D→CC = Q₁ 的位置
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1运行三次（Q₁、Q₂、Q₃），每次把 D 加到 C 上
Fix 0 … WhileEnd从最后一组起往前逐组拆出数据，求出位置 C 上的数值（C 以 .5 结尾时取两个数据的平均数）
Norm 1:C◢Y◢恢复正常显示；显示位置 C 和数值 Y
M>0⇒−Y→M仅第一次（Q₁）：把 −Q₁ 存入 M
Y+M最后显示 Q₃ − Q₁ = IQR

把程序输入计算器

  1. MODE 6（PRGM）→ 1（EDIT）→ 选择一个空的程序区，例如 1（P1）→ 1（COMP）。
  2. 按下表从第 1 步输入到最后一步。
  3. 按 AC 退出编辑器。
  4. 核对：再按一次 MODE 6 1，下行应显示 P-1234 452（680 − 228 = 452，可用空间为 452 字节；如其他程序区已有程序，数字会更小）。然后按 AC。

最常漏掉的是第 67 步：(−1 之后的 )。漏掉它，程序只有 227 字节（核对时显示 453），而且所有结果都会出错——例如第一个位置会变成 −42.625。如果位置是负数，请先检查这一步。

按键速查

程序用到的每一种符号及其按键。

符号按键含义
正在加载表格…（此表格需要 JavaScript）

全部按键顺序（共 209 步）

从第 1 步按到最后一步即可完成输入。表格可以滚动，表头会固定显示。

全部按键顺序（共 209 步）
步符号按键
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04

计算器操作

每道例题都在计算器上做一次：先看题目及数据，再从运行程序开始，逐步列出要输入的按键，以及按完后画面显示什么。

例题一

题目

下表显示某班学生所拥有的笔的数量分布。求该分布的四分位距。

例题一的数据
笔的数量45678
学生人数68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
输入
4,65,86,87,48,2直接按 EXE:EXEEXE
显示
7.5514.55.521.561
例题一的按键与屏幕显示
#要输入按完后画面说明
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例题二

题目

下面的条形图显示某班 25 名学生上周运动天数的分布。求该分布的四分位距。

上周运动的天数天数 → 学生人数: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789天数学生人数
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
输入
1,32,33,74,85,4直接按 EXE:EXEEXE
显示
6.52.513319.541.5
例题二的按键与屏幕显示
#要输入按完后画面说明
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例题三

题目

下表显示 40 名学生的兄弟姐妹人数的分布。

例题三的数据
兄弟姐妹人数012345
学生人数10128631
  1. (a)求该分布的中位数。
  2. (b)求该分布的四分位距。
输入
0,101,122,83,64,35,1
显示
10.50.520.5130.52.52

这个表恰好有 6 组：输入第 6 个频数后，程序会立即开始计算，不必再直接按 EXE。

例题三的按键与屏幕显示
#要输入按完后画面说明
正在加载表格…（此表格需要 JavaScript）

注意事项

  • 输入提示（X?、Y?）位于下行左侧，右侧是该变量的当前值；在你输入之前上行保持空白，按 EXE 确认。
  • 下行显示的整数会保留小数点：5 显示为“5.”，−1 显示为“-1.”。
  • 程序暂停显示结果时，下行最右侧会亮起 Disp；按 EXE 查看下一个结果。程序结束时 Disp 熄灭。程序运行期间，屏幕顶部会亮起 PRGM 及带方框的程序区（例如 P1）。
  • 第 1 步用 Prog 键打开 P1–P4 列表，按 1 运行 P1；也可以用 MODE 6 → 2（RUN）→ 1。