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001Matemática · Estatística

Quartis e amplitude interquartil

O programa de quartis IQR

Digite cada valor e a sua frequência de uma tabela de frequências (ou de um gráfico de barras); o programa segue o método do DSE para mostrar a posição e o valor de Q₁, Q₂ e Q₃ e, depois, a amplitude interquartil.

Exemplos resolvidosPrograma e teclas
  • 228 bytes
  • Modo COMP
  • Até 6 grupos
01

Exemplos resolvidos

Exemplo 1

A tabela mostra a distribuição do número de canetas que os alunos de uma turma possuem. Determine a amplitude interquartil da distribuição.

Dados do Exemplo 1
Número de canetas45678
Número de alunos68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Resposta
A — a amplitude interquartil é 1
Resolução padrão (sem calculadora)
  1. Total: N = 6 + 8 + 8 + 4 + 2 = 28
  2. Frequências acumuladas:
    Frequências acumuladas do Exemplo 1
    Número de canetas45678
    Frequência acumulada614222628
  3. Mediana: posição = = 14.5, a média do 14º e do 15º dado. Pelas frequências acumuladas, o 14º dado é 5 e o 15º é 6.
    ∴ Q₂ = = 5.5
  4. Quartil inferior: N é par, então a metade inferior vai do 1º ao 14º dado.
    Q₁ = = = 5
  5. Quartil superior: a metade superior vai do 15º ao 28º dado.
    Q₃ = = = 6
  6. Amplitude interquartil = Q₃ − Q₁ = 6 − 5 = 1
    ∴ A resposta é A.
Fazer na calculadora

Exemplo 2

O gráfico de barras mostra a distribuição do número de dias em que 25 alunos de uma turma praticaram exercícios na semana passada. Determine a amplitude interquartil da distribuição.

Dias de exercício na semana passadaNúmero de dias → Número de alunos: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789Número de diasNúmero de alunos
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Resposta
B — a amplitude interquartil é 1.5
Resolução padrão (sem calculadora)
  1. Total: N = 3 + 3 + 7 + 8 + 4 = 25
  2. Frequências acumuladas:
    Frequências acumuladas do Exemplo 2
    Número de dias12345
    Frequência acumulada36132125
  3. Mediana: posição = = 13, ∴ Q₂ = o 13º dado = 3
  4. As duas metades: N é ímpar, então a mediana (o 13º dado) não pertence a nenhuma das metades. A metade inferior vai do 1º ao 12º dado; a metade superior, do 14º ao 25º dado.
  5. Quartil inferior: Q₁ = mediana da metade inferior = = = 2.5
  6. Quartil superior: Q₃ = mediana da metade superior = = = 4
  7. Amplitude interquartil = 4 − 2.5 = 1.5
    ∴ A resposta é B.

Erro comum: contar a mediana nas duas metades (do 1º ao 13º dado na metade inferior) leva a Q₁ = 3, Q₃ = 4 e amplitude interquartil = 1 — a alternativa errada A.

Fazer na calculadora

Exemplo 3

A tabela mostra a distribuição do número de irmãos de 40 alunos.

Dados do Exemplo 3
Número de irmãos012345
Número de alunos10128631
  1. (a)Determine a mediana da distribuição.
  2. (b)Determine a amplitude interquartil da distribuição.
Resposta
(a) Mediana = 1　(b) Amplitude interquartil = 2
Resolução padrão (sem calculadora)
  1. Total: N = 10 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 40
  2. Frequências acumuladas:
    Frequências acumuladas do Exemplo 3
    Número de irmãos012345
    Frequência acumulada102230363940
  3. (a) Mediana: posição = = 20.5
    Mediana = = = 1
  4. (b) Quartil inferior: a metade inferior vai do 1º ao 20º dado.
    Q₁ = = = 0.5
  5. Quartil superior: a metade superior vai do 21º ao 40º dado.
    Q₃ = = = 2.5
  6. Amplitude interquartil = Q₃ − Q₁ = 2.5 − 0.5 = 2
Fazer na calculadora
02

Quando usar

Na área de Estatística da Matemática do HKDSE (Parte Obrigatória), muitas vezes é preciso achar o quartil inferior Q₁, a mediana Q₂, o quartil superior Q₃ e a amplitude interquartil (IQR) a partir de uma tabela de frequências ou de um gráfico de barras. À mão, você conta o total, monta as frequências acumuladas e localiza cada posição — e, quando N é ímpar, precisa lembrar de deixar a mediana fora das duas metades. São muitos passos, e é fácil errar a contagem.

O programa 001 faz a contagem por você. Digite cada valor e a sua frequência, e ele mostra a posição e o valor de Q₁, Q₂ e Q₃, um de cada vez, e depois a amplitude interquartil. As posições indicam qual quartil está na tela e facilitam a comparação com as suas próprias contas.

  • Use para

    • Tabelas de frequências ou gráficos de barras de dados discretos
    • Quartil inferior, mediana, quartil superior ou amplitude interquartil
    • Conferir respostas da Prova 1 do HKDSE (questões discursivas); responder rápido às questões de múltipla escolha da Prova 2

  • Você digita

    • Cada valor x e a sua frequência f (primeiro o x), começando pelo menor valor
    • Até 6 grupos; depois pressione EXE uma vez em X? e uma vez em Y?
    • Com exatamente 6 grupos, ele começa sozinho

  • Ele mostra

    • Posição de Q₁ → Q₁
    • Posição de Q₂ → Q₂ (a mediana)
    • Posição de Q₃ → Q₃
    • Por fim: IQR = Q₃ − Q₁

O método do DSE que ele segue

  1. Coloque os N dados em ordem crescente.
  2. A mediana Q₂ está na posição .
  3. Divida os dados em uma metade inferior e uma metade superior; quando N é ímpar, a mediana não pertence a nenhuma das metades.
  4. Q₁ = mediana da metade inferior, Q₃ = mediana da metade superior, IQR = Q₃ − Q₁.
  5. Uma posição terminada em .5 (por exemplo, 7.5) significa a média do 7º e do 8º dado.

Limites e dicas

  • Até 6 grupos; no mínimo 2 dados no total.
  • Cada x deve ser um número inteiro, digitado em ordem crescente; o primeiro x pode ser no máximo 99, e valores vizinhos podem diferir em no máximo 99.
  • A frequência acumulada antes do último grupo pode ser no máximo 99 (a última frequência pode ser maior).
  • Valores grandes (por exemplo, 150): subtraia primeiro o mesmo número de todos os x e depois some-o de volta a Q₁, Q₂ e Q₃; a amplitude interquartil não muda.
  • Valores decimais ou negativos: multiplique por 10 ou some uma constante para obter inteiros não negativos e depois converta de volta.
  • O programa muda para Fix 0 durante o cálculo e volta para Norm 1 no final. Se você interrompê-lo com AC, pressione SHIFTMODEDireita31 para voltar a Norm 1.
03

Programa e teclas

001_IQR_quartiles.fx50COMP · 228 bytes
ClrMemory:1→B:For 1→C To 6:X→D:?→X:−1→Y:?→Y:Y<0⇒Break:100A+X−D→A:100B+M→B:YM+:Next:(2M+1−(−1)^(M))÷8→D:(M+1)÷2−D→C:Lbl 1:Fix 0:1→X:0→Y:While X<A+1:Rnd(B÷X−.5)−100Rnd(B÷100X−.5:Y+(Rnd(A÷X−.5)−100Rnd(A÷100X−.5))((Ans<C−.5)+(Ans<C))÷2→Y:100X→X:WhileEnd:Norm 1:C◢Y◢M>0⇒−Y→M:C+D→C:C<3D+1⇒Goto 1:Y+M
  • : é EXE durante a edição; ◢ é SHIFT34 — não pressione EXE depois de ◢.
  • O − em −1→Y e em (−1)^( é o sinal negativo (−); todos os outros − são a tecla de subtração −.
  • As quebras de linha servem só para facilitar a leitura; o : no fim de cada linha precisa ser digitado.

Como funciona

InstruçãoO que faz
ClrMemory:1→BLimpa a memória e coloca um 1 inicial em B como marcador
For 1→C To 6 … NextLê até 6 grupos (sem laço dentro do For)
X→D:?→XD = o x anterior; pede o novo x (o prompt mostra o x anterior)
−1→Y:?→Y:Y<0⇒BreakPede a frequência; o prompt mostra −1, e EXE sozinho encerra a entrada
100A+X−D→ACompacta em A a diferença em relação ao x anterior, dois dígitos por grupo
100B+M→BCompacta em B a frequência acumulada antes de cada grupo, dois dígitos por grupo
YM+M = o total N
(2M+1−(−1)^(M))÷8→DD = a distância entre as posições de dois quartis consecutivos
(M+1)÷2−D→CC = a posição de Q₁
Lbl 1 … C<3D+1⇒Goto 1Executa três vezes (Q₁, Q₂, Q₃), somando D a C a cada vez
Fix 0 … WhileEndDescompacta os grupos do último para o primeiro e encontra o valor na posição C (a média de dois dados quando C termina em .5)
Norm 1:C◢Y◢Volta à exibição normal; mostra a posição C e o valor Y
M>0⇒−Y→MSó na primeira vez (Q₁): guarda −Q₁ em M
Y+MPor fim, mostra Q₃ − Q₁ = IQR

Digitando o programa

  1. MODE 6 (PRGM) → 1 (EDIT) → uma área de programa vazia, por exemplo 1 (P1) → 1 (COMP).
  2. Digite as teclas da tabela abaixo, do passo 1 até o último.
  3. Pressione AC para sair do editor.
  4. Verificação: pressione MODE 6 1 de novo. A linha inferior deve mostrar P-1234 452 (680 − 228 = 452 bytes livres; menos se outras áreas tiverem programas). Depois pressione AC.

O passo mais esquecido é o 67: o ) depois de (−1. Sem ele, o programa fica com 227 bytes (a verificação mostra 453) e todos os resultados saem errados — a primeira posição vira −42.625, por exemplo. Se aparecer uma posição negativa, confira este passo primeiro.

Referência de teclas

Todos os tipos de símbolo que o programa usa, com as suas teclas.

SímboloTeclasSignificado
Carregando a tabela… (esta tabela precisa de JavaScript)

Todas as teclas, em ordem (209 passos)

Siga do passo 1 até o último passo para terminar. A tabela tem rolagem e o cabeçalho continua visível.

Todas as teclas, em ordem (209 passos)
PassoSímboloTeclas
Carregando a tabela… (esta tabela precisa de JavaScript)
04

Na calculadora

Cada exemplo feito na calculadora: primeiro o enunciado e os dados; depois, cada tecla a digitar desde o início do programa e o que a tela mostra em seguida.

Exemplo 1

Enunciado

A tabela mostra a distribuição do número de canetas que os alunos de uma turma possuem. Determine a amplitude interquartil da distribuição.

Dados do Exemplo 1
Número de canetas45678
Número de alunos68842
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Digite
4,65,86,87,48,2Só EXE:EXEEXE
Mostra
7.5514.55.521.561
Teclas e tela do Exemplo 1
#DigiteTela depoisObservações
Carregando a tabela… (esta tabela precisa de JavaScript)

Exemplo 2

Enunciado

O gráfico de barras mostra a distribuição do número de dias em que 25 alunos de uma turma praticaram exercícios na semana passada. Determine a amplitude interquartil da distribuição.

Dias de exercício na semana passadaNúmero de dias → Número de alunos: 1 → 3; 2 → 3; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 4123450123456789Número de diasNúmero de alunos
  1. A.1
  2. B.1.5
  3. C.2
  4. D.2.5
Digite
1,32,33,74,85,4Só EXE:EXEEXE
Mostra
6.52.513319.541.5
Teclas e tela do Exemplo 2
#DigiteTela depoisObservações
Carregando a tabela… (esta tabela precisa de JavaScript)

Exemplo 3

Enunciado

A tabela mostra a distribuição do número de irmãos de 40 alunos.

Dados do Exemplo 3
Número de irmãos012345
Número de alunos10128631
  1. (a)Determine a mediana da distribuição.
  2. (b)Determine a amplitude interquartil da distribuição.
Digite
0,101,122,83,64,35,1
Mostra
10.50.520.5130.52.52

Esta tabela tem exatamente 6 grupos: o programa começa assim que a 6ª frequência é digitada — não é preciso pressionar EXE sem digitar nada.

Teclas e tela do Exemplo 3
#DigiteTela depoisObservações
Carregando a tabela… (esta tabela precisa de JavaScript)

Observações

  • Os prompts de entrada (X?, Y?) ficam à esquerda da linha inferior, com o valor atual da variável à direita; a linha superior fica vazia até você digitar, e EXE confirma.
  • Números inteiros na linha inferior mantêm o ponto decimal: 5 aparece como “5.” e −1 como “-1.”.
  • Quando o programa pausa para mostrar um resultado, Disp acende no canto inferior direito da linha inferior; pressione EXE para ver o próximo. Disp apaga quando o programa termina. Durante a execução, PRGM e a área de programa dentro de um quadro (por exemplo, P1) acendem no topo da tela.
  • O passo 1 abre a lista P1–P4 com a tecla Prog; pressione 1 para executar o P1. MODE 6 → 2 (RUN) → 1 também funciona.